Cómputos usando Números Maya

4th Sep 2023

Mexicolore contributor Ximena Catepillán

Le agradecemos sinceramente a la Dra. Ximena Catepillán por esta introducción esclarecedora acerca del antiguo sistema numérico vigesimal maya. Profesora emérita de matemáticas en la Universidad Millersville de Pennsylvania, Dra. Catepillán tiene raíces indígenas sudamericanas y una pasión por las matemáticas de las Américas precolombinas. Es co-autora del texto Mathematics in a Sample of Cultures.

La civilización de los mayas tuvo una larga historia dividida en tres períodos: el período preclásico ca. 1200 aC - 200 dC, el período clásico 200 dC - 900 dC y el período posclásico 900 dC - 1519 dC. Esta civilización se extendió desde lo que hoy es Belice, el centro y sur de México, Guatemala, El Salvador y Honduras. Los maya desarrollaron un sistema de escritura de glifos, un sistema numérico, y dominaron varias áreas de la ciencia, el arte y la arquitectura. Su área más importante era la astronomía, y las matemáticas que usaron para sus cálculos utilizaban un sistema numérico vigesimal, descrito en esta sección. Para sus cálculos calendáricos tenían un sistema “casi vigesimal” llamado sistema numérico cronológico.
El cero maya data de 200 aC - 100 aC y fue la clave para desarrollar su sistema de numeración vigesimal posicional. En la figura 1 tenemos los dígitos mayas con el símbolo más común utilizado para cero, que se cree que representa una concha.

Los mayas colocaron los dígitos verticalmente y se leen de abajo hacia arriba.
En la figura 2, a la izquierda tenemos el número 1.332, que se obtiene multiplicando los dígitos de abajo hacia arriba por potencias de 20 (sistema de numeración vigesimal) y luego sumando los productos. Por lo tanto, 12 x 20{superscript0 + 6 x 20{superscript1 + 3 x 20{superscript2 = 1.332, y, a la derecha, tenemos el número 96.022 correspondiente a 2 x 20{superscript0 + 1 x 20{superscript1 + 0 x 20{superscript2 + 12 x 20{superscript3.

En el sistema numérico cronológico maya, la diferencia está en el tercer dígito, que se multiplica por 18 x 20 en lugar de 20{superscript2, el cuarto dígito y los dígitos superiores continuaron siendo multiplicados por potencias de 20. Ver figura 3 a la izquierda, el número 1.212 y a la derecha el número 86.422. El sistema cronológico se utilizó para representar la información calendárica en los códices, los libros de Chilam Balam – compilaciones de manuscritos más antiguos y ahora perdidos, y en sus inscripciones.

Se han encontrado cuatro manuscritos maya (códices); estos libros tienen páginas coloreadas, inscritas en ambos lados y escritas en papel fabricado de las hojas de la planta de maguey. Los códices contienen combinaciones de números, cálculos astrológicos y astronómicos, información sobre guerras, huracanes, hambrunas y muchos otros eventos.
Había un gran número de estos libros, sin embargo, en 1562 el misionero Diego de Landa ordenó la quema de una gran cantidad de libros e imágenes religiosas en un intento de erradicar su religión nativa. En la figura 4, podemos ver una parte de una página del códice de Dresde que contiene información sobre Marte. El códice se llama Dresde porque se encuentra en una biblioteca en Dresde, Alemania.

En la imagen de la derecha en la figura 4, resaltada en rojo, abajo de derecha a izquierda podemos ver en forma cronológica maya, los números:
78 = 18 + 3 x 20,
156 = 16 + 7 x 20 = 78 x 2,
234 = 14 + 11 x 20 = 78 x 3,
312 = 12 + 15 x 20 = 78 x 4,
390 = 10 + 1 x 20 + 1 x 18 x 20 = 78 x 5, y
780 = 0 + 3 x 20 + 2 x 18 x 20 = 78 x 10.
En la fila superior tenemos de derecha a izquierda los números:
468 = 78 x 6,
546 = 78 x 7,
624 = 78 x 8, y
702 = 78 x 9.

¿Por qué múltiplos de 78?
El número 78 tiene sus orígenes en el período sinódico de 780 días de Marte, el tiempo requerido para que el planeta regrese a la misma posición que ve un observador en la Tierra. Los maya calcularon el período como 780 y el período sinódico real es 779,94, bastante sorprendente.
La figura colgante parecida a un animal es el dios maya de Marte, el dios de la tormenta, también conocido como la “bestia de Marte” caracterizada por su nariz ornamentada.
En otra página del códice de Dresde, encontramos información sobre eclipses lunares.

En la figura 5, los números representan el número de días y se enumeran junto a una secuencia de tres fechas consecutivas del calendario Tzolkin. El eclipse previsto ocurriría en una de las tres fechas. El número resaltado en rojo a la izquierda corresponde a 9.183 días, utilizando el método cronológico, 3 + 9 x 20 + 5 x 18 x 20 + 1 x 18 x 20{superscript2 = 9.183.
El segundo número resaltado de la izquierda es 0 + 0 x 20 + 6 x 18 x 20 + 1 x 18 x 20{superscript2 = 9.360
Los otros números destacados de izquierda a derecha son: 9.537, 9.714, 9.891 y 10.039. Observe que el número de días entre estos números es 148 o 177 días, el número de días entre los eclipses:
9.183 + 177 = 9.360
9.360 + 177 = 9.537
9.537 + 177 = 9.714
9.714 + 177 = 9.891, y
9.891 + 148 = 10.039

¿Por qué los números 177 y 148?
El período sinódico de la luna es de 29,530588 días o 29 días 12 horas 44 minutos y 3 segundos, y el intervalo entre dos eclipses lunares sucesivos puede ser de 1, 5 o 6 períodos sinódicos.
Tenga en cuenta que 5 períodos sinódicos = 5 x 29,530588 = 147,65294 días, y 6 períodos sinódicos = 6 x 29,530588 = 177,18353 días. Los maya calcularon los períodos como 148 y 177 días.

En la misma figura 5, resaltada en calipso, tenemos fechas Tzolkin, como parte de tres fechas consecutivas asociadas a cada uno de los números de días.
El calendario Tzolkin fue uno de los más de 21 calendarios en uso en Mesoamérica a la llegada de Hernán Cortéz en 1519 en lo que México es hoy. El Tzolkin de 260 días, o calendario sagrado, todavía está en uso por algunos de los chamanes en las tierras altas de Guatemala para fines de adivinación y ceremonias. Utiliza 20 nombres de dioses maya con 13 números, por lo tanto, un ciclo de calendario Tzolkin tiene 260 días y comienza con 1 Imix y termina con 13 Ahau. Los maya escribieron las fechas usando el número maya junto con el glifo que representa a cada dios.

Volviendo a la figura 5, resaltada en calipso, tenemos de izquierda a derecha las fechas de Tzolkin para los eclipses lunares predichos, 5 Eb, 13 Muluc, 8 Cimi, 3 Akbal, 11 Ahau y 3 Lamat, ver figura 7.
Tenga en cuenta que:
5 EB + 177 = 13 Muluc
13 Muluc + 177 = 8 cimi
8 Cimi + 177 = 3 Akbal
3 Akbal + 177 = 11 Ahau
11 Ahau + 148 = 3 Lamat.

En la figura 8, tenemos las 260 fechas Tzolkin, comenzando con 1 Imix y continuando con 2 Ik, 3 Akbal, 4 Kan, 5 Chicchan, etc. hasta llegar a la última fecha 13 Ahau. Usa la tabla del calendario para localizar 5 Eb y luego cuenta 177 días para llegar a 13 Muluc, estas fechas corresponden a dos fechas consecutivas de eclipses.

¿Qué operaciones utilizaron los mayas para realizar sus cálculos calendáricos?
Si bien usaban un sistema vigesimal para escribir los números, este sistema nunca se usaba en relación con los días. Ninguna inscripción utiliza números vigesimales, sino números cronológicos. Probablemente usaron sumas sucesivas para realizar el producto de cualquier cantidad por un solo dígito. Sin embargo, no hay registros que indiquen cómo multiplicaron los números de más de un dígito. Hay alguna evidencia de que usaron una cuadrícula en el suelo o un piso de estuco para realizar los cálculos con frijoles, granos de maíz y palitos.

Ejemplo de multiplicación usando números vigesimales.
Usaremos una cuadrícula para multiplicar 66 y 22. Comenzamos a escribir los números usando dígitos maya (ver paso 1, arriba).

A continuación, localizamos los números fuera de una cuadrícula (ver paso 2, a la izquierda).

Continuamos multiplicando las células correspondientes 3 x 1, 3 x 2, 6 x 1 y 6 x 2, e ingresando los dígitos en las células (ver paso 3, a la derecha).

A continuación, sumamos los números dentro de la cuadrícula en cada una de las diagonales, obteniendo 12, 12 y 3 (ver paso 4, a la izquierda).

Los números que obtuvimos en las diagonales de derecha a izquierda, son los dígitos de la respuesta, que es el número 12 + 12 x 20 + 3 x 20{superscript2 = 1.452.

En la figura 9 tenemos un resumen de los pasos de la multiplicación.